Спрос и предложение: продвинутые задачи

Введение

Спрос и предложение — это фундамент микроэкономики и самая часто встречающаяся тема на Олимпиаде РАНХиГС. Если на школьном уровне достаточно знать, что «кривая спроса наклонена вниз», то олимпиадный уровень требует уверенной работы с математическими моделями, расчётом равновесия, анализом сдвигов и вычислением излишков.

В этом уроке мы разберём всё, что нужно для решения олимпиадных задач по спросу и предложению на уровне заключительного этапа.

---

Теория

Линейные функции спроса и предложения

На олимпиаде спрос и предложение почти всегда задаются линейными функциями:

• Функция спроса: Qd = a - bP (или в обратной форме: P = a/b - Qd/b)
• Функция предложения: Qs = -c + dP (или P = c/d + Qs/d)

Где a, b, c, d > 0.

Важно понимать:

• a — максимальный спрос (при P = 0)
• a/b — максимальная цена спроса (резервная цена, при Qd = 0)
• c/d — минимальная цена предложения (при Qs = 0)
• b — наклон кривой спроса (чем больше b, тем более пологая кривая)
• d — наклон кривой предложения

Рыночное равновесие

Равновесие находится из условия Qd = Qs:

a - bP = -c + dP

P* = (a + c) / (b + d)

Q = a - b × P = a - b(a + c)/(b + d) = (ad - bc) / (b + d)

Условие существования равновесия: Q* > 0, то есть ad > bc.

Излишек потребителя и производителя

Для линейных функций излишки — это площади треугольников:

• Излишек потребителя (CS): CS = (1/2) × Q × (Pmax - P), где Pmax = a/b
• Излишек производителя (PS): PS = (1/2) × Q × (P - Pmin), где Pmin = c/d
• Общественный излишек (TS): TS = CS + PS

Сдвиги кривых

Ключевое правило: изменение неценового фактора сдвигает всю кривую.

Факторы сдвига спроса:

• Доход потребителей (для нормальных товаров — вправо при росте)
• Цены товаров-заменителей (рост цены заменителя → спрос вправо)
• Цены комплементов (рост цены комплемента → спрос влево)
• Вкусы и предпочтения
• Ожидания
• Число покупателей

Факторы сдвига предложения:

• Цены ресурсов (рост → предложение влево)
• Технологии (улучшение → предложение вправо)
• Налоги и субсидии
• Ожидания производителей
• Число продавцов

Одновременные сдвиги

Если сдвигаются обе кривые — результат зависит от величины сдвигов:

| Спрос → | Предложение → | Цена | Количество | |---------|---------------|------|------------| | Вправо | Не меняется | ↑ | ↑ | | Влево | Не меняется | ↓ | ↓ | | Не меняется | Вправо | ↓ | ↑ | | Не меняется | Влево | ↑ | ↓ | | Вправо | Вправо | ? | ↑ | | Вправо | Влево | ↑ | ? | | Влево | Вправо | ↓ | ? | | Влево | Влево | ? | ↓ |

Знак «?» означает — зависит от относительной величины сдвигов.

Влияние потоварного налога

Потоварный налог t на продавца: новая функция предложения Qs' = -c + d(P - t) = -(c + dt) + dP.

Новое равновесие:

• P*_покупатель = (a + c + dt) / (b + d)
• P_продавец = P_покупатель - t
• Q_новое = a - b × P_покупатель

Налоговые поступления: T = t × Q*_новое

Чистые потери (DWL): DWL = (1/2) × t × (Q_старое - Q_новое)

---

Типовые олимпиадные задачи

Задача 1. Базовое равновесие с налогом

Условие: На рынке товара X спрос задан функцией Qd = 200 - 4P, предложение Qs = -40 + 2P. Правительство вводит потоварный налог t = 15 на продавцов.

Найдите: (а) равновесие до налога; (б) равновесие после налога; (в) налоговые поступления; (г) DWL.

Решение:

(а) До налога: Qd = Qs 200 - 4P = -40 + 2P 240 = 6P P = 40, Q = 200 - 4(40) = 40

(б) После налога: новое предложение Qs' = -40 + 2(P - 15) = -70 + 2P 200 - 4P = -70 + 2P 270 = 6P Pпокуп = 45, Qновое = 200 - 4(45) = 20 Pпродавец = 45 - 15 = 30

(в) Налоговые поступления: T = 15 × 20 = 300

(г) DWL = (1/2) × 15 × (40 - 20) = 150

Проверка: CS до = (1/2)(40)(50-40) = 200. CS после = (1/2)(20)(50-45) = 50. PS до = (1/2)(40)(40-20) = 400. PS после = (1/2)(20)(30-20) = 100. TS до = 600. TS после = 50 + 100 + 300 = 450. DWL = 600 - 450 = 150. ✓

Задача 2. Сдвиги с параметром

Условие: Qd = 100 - 2P + 3I, где I — доход. Qs = -20 + 4P. При I = 10 найдите равновесие. Как изменится равновесие при росте дохода до I = 20?

Решение:

При I = 10: Qd = 100 - 2P + 30 = 130 - 2P 130 - 2P = -20 + 4P → 150 = 6P → P = 25, Q = 130 - 50 = 80

При I = 20: Qd = 100 - 2P + 60 = 160 - 2P 160 - 2P = -20 + 4P → 180 = 6P → P = 30, Q = 160 - 60 = 100

Вывод: рост дохода на 10 единиц увеличил цену на 5 и количество на 20.

---

Разбор сложной задачи уровня заключительного этапа

Условие: На рынке товара действуют два сегмента потребителей. Спрос первого сегмента: Q1 = 80 - 2P (при P ≤ 40). Спрос второго сегмента: Q2 = 120 - 4P (при P ≤ 30). Предложение: Qs = -10 + 3P.

Найдите: (а) рыночный спрос; (б) равновесие; (в) излишек каждого сегмента потребителей.

Решение:

(а) Рыночный спрос — горизонтальное сложение:

• При P > 40: Qd = 0
• При 30 < P ≤ 40: Qd = Q1 = 80 - 2P (только первый сегмент)
• При P ≤ 30: Qd = Q1 + Q2 = (80 - 2P) + (120 - 4P) = 200 - 6P

Функция спроса — ломаная!

(б) Проверяем равновесие на участке P ≤ 30: 200 - 6P = -10 + 3P → 210 = 9P → P* = 23.33

P* = 23.33 < 30, значит мы на правильном участке. ✓ Q* = 200 - 6(23.33) = 200 - 140 = 60

(в) При P* = 23.33: Q1 = 80 - 2(23.33) = 33.33 Q2 = 120 - 4(23.33) = 26.67

CS1 = (1/2) × 33.33 × (40 - 23.33) = (1/2) × 33.33 × 16.67 ≈ 277.8 CS2 = (1/2) × 26.67 × (30 - 23.33) = (1/2) × 26.67 × 6.67 ≈ 88.9

Ключевой навык: уметь строить рыночный спрос из нескольких сегментов (горизонтальное сложение) и работать с ломаными кривыми.

---

Частые ошибки

Путают прямую и обратную функцию спроса. Qd = 100 - 2P и P = 50 - Q/2 — одно и то же, но при построении графика P на оси Y, Q на оси X. Наклон на графике = -1/b, а не -b.

Забывают проверить Q* > 0. Если при решении получается отрицательное количество — равновесия не существует.

При налоге путают, кто платит. Формально не важно, на кого налог «наложен» — распределение бремени зависит от эластичности, а не от того, кто «формально» платит.

Неправильно считают DWL. DWL — это треугольник между старым и новым количеством, а не прямоугольник.

При одновременных сдвигах делают однозначные выводы. Если обе кривые сдвигаются в одну сторону, один из параметров (P или Q) неоднозначен без знания величин сдвигов.

Забывают про горизонтальное сложение. При нескольких сегментах потребителей или производителей нужно складывать функции по Q при одной и той же P.

---

Чек-лист перед олимпиадой

• [ ] Умею находить равновесие из Qd = Qs
• [ ] Умею считать CS, PS, DWL для линейных функций
• [ ] Знаю, как потоварный налог/субсидия смещает кривую предложения
• [ ] Могу анализировать одновременные сдвиги обеих кривых
• [ ] Умею строить рыночный спрос из нескольких сегментов
• [ ] Проверяю условия существования равновесия (Q* > 0)
• [ ] Различаю прямую и обратную функции спроса