Теория потребителя: полезность, бюджетное ограничение

Введение

Теория потребителя — одна из самых «математизированных» тем на олимпиаде РАНХиГС. Здесь нужно уверенно работать с функциями полезности, строить бюджетные ограничения и находить оптимальный набор потребителя. Эта тема регулярно появляется на заключительном этапе в виде расчётных задач.

---

Теория

Полезность

Общая (совокупная) полезность TU(X) — удовлетворение от потребления X единиц товара.

Предельная полезность MU(X) = dTU/dX — дополнительная полезность от ещё одной единицы.

Закон убывающей предельной полезности: MU убывает по мере роста потребления (dMU/dX < 0).

Функции полезности двух товаров

1. Кобб-Дуглас: U(X, Y) = X^α × Y^β

• MUx = αX^(α-1) × Y^β
• MUy = βX^α × Y^(β-1)
• MRS = MUx/MUy = (αY)/(βX)

2. Совершенные заменители: U(X, Y) = aX + bY

• MUx = a, MUy = b (постоянные)
• MRS = a/b (постоянная)
• Кривые безразличия — прямые линии
• Потребитель выбирает один товар: X если Px/Py < a/b, Y если Px/Py > a/b

3. Совершенные дополнители: U(X, Y) = min(aX, bY)

• Кривые безразличия — прямые углы
• Оптимум всегда в углу: aX = bY → Y = (a/b)X

Бюджетное ограничение

M = Px × X + Py × Y

Или: Y = M/Py - (Px/Py) × X

• Наклон бюджетной линии: -Px/Py
• Пересечение с осью X: M/Px
• Пересечение с осью Y: M/Py

Оптимум потребителя

Условие оптимума (внутреннее решение):

MRS = Px/Py, то есть MUx/MUy = Px/Py

Эквивалентная форма: MUx/Px = MUy/Py (равенство взвешенных предельных полезностей)

Для Кобб-Дугласа U = X^α × Y^β:

Из MRS = Px/Py: (αY)/(βX) = Px/Py → Y = (βPx)/(αPy) × X

Подставляем в бюджетное ограничение: PxX + Py × (βPx)/(αPy) × X = M PxX(1 + β/α) = M PxX × (α + β)/α = M

X* = αM / ((α + β)Px) Y* = βM / ((α + β)Py)

Важное свойство Кобб-Дугласа: доля расходов на X = α/(α+β), на Y = β/(α+β) — не зависит от цен!

Эффект дохода и эффект замещения

Эффект замещения (по Слуцкому или Хиксу): при росте Px потребитель переключается на товар Y.

Эффект дохода: рост Px снижает реальный доход, что влияет на спрос в зависимости от типа товара:

• Нормальный товар: оба эффекта снижают спрос на X (закон спроса выполняется)
• Инфериорный товар: эффекты действуют в разных направлениях
• Товар Гиффена: эффект дохода перевешивает (закон спроса нарушается)

---

Типовые олимпиадные задачи

Задача 1. Кобб-Дуглас

Условие: U(X, Y) = X^2 × Y. Доход M = 120. Px = 4, Py = 2. Найдите оптимальный набор.

Решение:

α = 2, β = 1.

X* = αM / ((α+β)Px) = 2 × 120 / (3 × 4) = 240/12 = 20 Y* = βM / ((α+β)Py) = 1 × 120 / (3 × 2) = 120/6 = 20

Проверка бюджета: 4(20) + 2(20) = 80 + 40 = 120 = M ✓

U = 20² × 20 = 8000

Задача 2. Совершенные заменители

Условие: U(X, Y) = 3X + 2Y. M = 60. Px = 6, Py = 5. Найдите оптимум.

Решение:

MRS = MUx/MUy = 3/2 = 1.5 Px/Py = 6/5 = 1.2

MRS > Px/Py → потребитель ценит X относительно больше, чем рынок → покупает только X.

X = M/Px = 60/6 = 10, Y = 0 U = 3(10) + 2(0) = 30

Проверка: если бы покупал только Y: X = 0, Y = 60/5 = 12, U = 24. Действительно, 30 > 24. ✓

Задача 3. Совершенные дополнители

Условие: U(X, Y) = min(2X, 3Y). M = 78. Px = 3, Py = 4. Найдите оптимум.

Решение:

В оптимуме: 2X = 3Y → Y = 2X/3

Бюджет: 3X + 4(2X/3) = 3X + 8X/3 = 17X/3 = 78 X = 78 × 3/17 ≈ 13.76... Если нужно целое: X ≈ 13.76

Точное: X = 234/17 ≈ 13.76, Y = 2(234/17)/3 = 156/17 ≈ 9.18

U = min(2 × 13.76, 3 × 9.18) = min(27.53, 27.53) = 27.53

---

Разбор сложной задачи уровня заключительного этапа

Условие: Потребитель имеет функцию полезности U(X, Y) = X^0.5 × Y^0.5. Доход M = 100, Px = 5, Py = 10.

(а) Найдите оптимальный набор. (б) Цена X выросла до Px' = 10. Найдите новый оптимум. (в) Разложите изменение спроса на X на эффект замещения и эффект дохода по методу Слуцкого.

Решение:

(а) α = β = 0.5. X* = 0.5 × 100 / (1 × 5) = 10 Y* = 0.5 × 100 / (1 × 10) = 5 U = 10^0.5 × 5^0.5 = √50 ≈ 7.07

(б) При Px' = 10: X** = 0.5 × 100 / (1 × 10) = 5 Y** = 0.5 × 100 / (1 × 10) = 5 Общее изменение ΔX = 5 - 10 = -5

(в) По Слуцкому: компенсируем доход так, чтобы старый набор (10, 5) был доступен при новых ценах. M' = Px'×X + Py×Y = 10×10 + 10×5 = 150

При M' = 150 и новых ценах: X_комп = 0.5 × 150 / (1 × 10) = 7.5

Эффект замещения: 7.5 - 10 = -2.5 Эффект дохода: 5 - 7.5 = -2.5

Итого: -2.5 + (-2.5) = -5 ✓

Оба эффекта отрицательны → X — нормальный товар.

---

Частые ошибки

Не проверяют тип решения. Для совершенных заменителей оптимум часто угловой — не пытайтесь приравнивать MRS к Px/Py и решать систему.

Путают α и β с долями расходов. Доли расходов для U = X^α × Y^β — это α/(α+β) и β/(α+β), а не α и β напрямую.

Забывают проверить бюджетное ограничение. Всегда подставляйте X и Y обратно.

Неправильно раскладывают эффекты. По Слуцкому компенсируется покупательная способность (старый набор доступен), по Хиксу — полезность (старый уровень U достижим). На олимпиаде обычно Слуцкий.

Ошибки в дифференцировании. MUx для X^α × Y^β = αX^(α-1)Y^β, не забывайте Y^β.

---

Чек-лист перед олимпиадой

• [ ] Умею находить оптимум для Кобб-Дугласа по формулам
• [ ] Определяю угловые решения для совершенных заменителей
• [ ] Решаю задачи с совершенными дополнителями (min-функция)
• [ ] Могу разложить изменение спроса на эффект замещения и дохода (по Слуцкому)
• [ ] Понимаю, как изменение дохода и цен влияет на бюджетную линию
• [ ] Знаю классификацию товаров: нормальный, инфериорный, Гиффена