Алгебра в экономике

Введение

Математика — язык экономики. На олимпиаде вам нужно уверенно работать с функциями, производными и графиками в экономическом контексте.

---

Теория

Линейные функции

Спрос: Qd = a - bP (или P = a/b - Q/b). Наклон на графике (P на Y): -1/b. Предложение: Qs = -c + dP. Наклон: 1/d.

Квадратичные функции

Выручка: TR = PQ. Для линейного спроса P = a-bQ: TR = aQ - bQ² — парабола с максимумом в Q = a/(2b).

Издержки: TC часто задаётся как TC = aQ³ - bQ² + cQ + d.

Производная и её экономический смысл

Производная = предельная величина:

• dTC/dQ = MC (предельные издержки)
• dTR/dQ = MR (предельная выручка)
• dTU/dX = MU (предельная полезность)
• dπ/dQ = 0 → условие максимума прибыли (MR = MC)

Правила дифференцирования

Построение графиков

Для линейного спроса P = 50 - 2Q:

• Пересечение с P: (0, 50) — максимальная цена
• Пересечение с Q: (25, 0) — максимальный спрос
• MR: P = 50 - 4Q (тот же P-intercept, вдвое круче)

Типовые задачи

Задача 1. Максимум выручки

P = 100 - 5Q. При каком Q выручка максимальна?

TR = 100Q - 5Q². dTR/dQ = 100 - 10Q = 0 → Q = 10. TR_max = 1000 - 500 = 500.

Задача 2. MC из TC

TC = 2Q³ - 12Q² + 40Q + 50. Найти MC и при каком Q он минимален.

MC = 6Q² - 24Q + 40. dMC/dQ = 12Q - 24 = 0 → Q = 2. MC(2) = 24 - 48 + 40 = 16.

---

Частые ошибки

---

Чек-лист

• [ ] Умею дифференцировать полиномы
• [ ] Знаю экономический смысл производной (MC, MR, MU)
• [ ] Нахожу максимум/минимум через f'(x)=0
• [ ] Строю графики линейных функций спроса/предложения