Оптимизация и максимум прибыли

Введение

Оптимизация — ядро экономических задач на олимпиаде. Максимизация прибыли, минимизация издержек, оптимум потребителя — все сводятся к нахождению экстремума функции.

---

Теория

Безусловная оптимизация

Максимум прибыли: π(Q) = TR(Q) - TC(Q) π'(Q) = MR - MC = 0 → MR = MC π''(Q) < 0 → максимум (MC растёт быстрее MR)

Условная оптимизация (метод Лагранжа)

Задача: max U(X,Y) при ограничении PxX + PyY = M

Лагранжиан: L = U(X,Y) + λ(M - PxX - PyY)

Условия: ∂L/∂X = MUx - λPx = 0 ∂L/∂Y = MUy - λPy = 0 ∂L/∂λ = M - PxX - PyY = 0

Из первых двух: MUx/Px = MUy/Py = λ → MRS = Px/Py

Оптимум фирмы с двумя ресурсами

min TC = wL + rK при Q = f(K,L)

Условие: MPL/w = MPK/r (изокоста касается изокванты)

---

Типовые задачи

Задача 1. Максимум прибыли монополиста

P = 200 - 4Q, TC = 2Q² + 40Q + 100.

TR = 200Q - 4Q². MR = 200 - 8Q. MC = 4Q + 40. MR = MC: 200 - 8Q = 4Q + 40 → 12Q = 160 → Q = 13.33. P = 200 - 53.33 = 146.67. π = 146.67×13.33 - (2×177.78 + 533.33 + 100) = 1955.6 - 988.9 = 966.7.

Задача 2. Метод Лагранжа

U = XY, M = 100, Px = 5, Py = 10. L = XY + λ(100 - 5X - 10Y) ∂L/∂X = Y - 5λ = 0 → λ = Y/5 ∂L/∂Y = X - 10λ = 0 → λ = X/10 Y/5 = X/10 → X = 2Y 5(2Y) + 10Y = 100 → 20Y = 100 → Y = 5, X = 10.

---

Частые ошибки

---

Чек-лист

• [ ] Умею максимизировать прибыль через MR = MC
• [ ] Знаю метод Лагранжа для условной оптимизации
• [ ] Проверяю достаточные условия (вторая производная)