Проценты, сложные проценты и финансы

Введение

Финансовая математика — регулярная тема олимпиады. Задачи на проценты, дисконтирование и NPV требуют точных расчётов.

---

Теория

Простые проценты

S = P(1 + rt), где P — начальная сумма, r — ставка, t — время.

Сложные проценты

S = P(1 + r)^t

С начислением m раз в год: S = P(1 + r/m)^(mt)

Правило 72

Время удвоения ≈ 72/r (r в %).

Дисконтирование

PV = FV / (1+r)^t — приведённая стоимость будущего платежа.

NPV (чистая приведённая стоимость)

NPV = -I₀ + Σ CFt/(1+r)^t

Проект выгоден если NPV > 0.

Аннуитет

PV = PMT × (1 - (1+r)^(-n)) / r

Реальная ставка

r_real = (1+i_nom)/(1+π) - 1 ≈ i_nom - π

---

Типовые задачи

Задача 1

Вклад 100 000 под 8% годовых с ежегодной капитализацией. Сколько через 3 года? S = 100000 × 1.08³ = 100000 × 1.2597 = 125 971.

Задача 2

Проект: инвестиция 1000, доход через год 600, через 2 года 600. r = 10%. NPV? NPV = -1000 + 600/1.1 + 600/1.21 = -1000 + 545.45 + 495.87 = 41.32 > 0. Проект выгоден.

Задача 3

Номинальная ставка 12%, инфляция 9%. Реальная ставка? r = 1.12/1.09 - 1 = 0.0275 = 2.75%.

---

Частые ошибки

Путают простые и сложные проценты.

Забывают дисконтировать каждый денежный поток отдельно.

Не учитывают, что NPV считается с учётом начальной инвестиции (со знаком минус).

---

Чек-лист

• [ ] Знаю формулы простых и сложных процентов
• [ ] Умею дисконтировать: PV = FV/(1+r)^t
• [ ] Могу рассчитать NPV проекта
• [ ] Знаю правило 72
• [ ] Различаю номинальную и реальную ставку