Системы уравнений в задачах

Введение

Системы уравнений — основной инструмент решения олимпиадных задач. Нахождение равновесия, оптимума Курно, модели IS-LM — всё сводится к системам.

---

Теория

Методы решения

1. Подстановка: выразить одну переменную через другую. 2. Сложение/вычитание: домножить уравнения и сложить для исключения переменной. 3. Матричный метод (правило Крамера): для 2×2 и 3×3 систем.

Экономические системы

Равновесие: Qd = Qs → система из двух уравнений.

Курно (2 фирмы): q₁ = (a-c₁)/(2b) - q₂/2 q₂ = (a-c₂)/(2b) - q₁/2 Решение: подстановка одного в другое.

Два рынка: Qd₁ = f(P₁, P₂), Qs₁ = g(P₁) Qd₂ = h(P₁, P₂), Qs₂ = k(P₂) → 4 уравнения, 4 неизвестных.

Параметрические системы

Часто на олимпиаде параметр (налог t, доход I) входит в систему. Решение содержит параметр → можно анализировать зависимость.

---

Типовые задачи

Задача 1. Два взаимосвязанных рынка

Qd₁ = 100 - 2P₁ + P₂, Qs₁ = -20 + 3P₁ Qd₂ = 80 + P₁ - 3P₂, Qs₂ = -10 + 2P₂

Равновесие на обоих рынках: 100 - 2P₁ + P₂ = -20 + 3P₁ → 120 = 5P₁ - P₂ ... (i) 80 + P₁ - 3P₂ = -10 + 2P₂ → 90 = -P₁ + 5P₂ ... (ii)

Из (i): P₂ = 5P₁ - 120. Подставляем в (ii): 90 = -P₁ + 5(5P₁-120) = 24P₁ - 600 → P₁ = 690/24 = 28.75. P₂ = 23.75.

Задача 2. Параметрическая

Qd = a - 2P, Qs = -10 + 3P. Налог t на продавца. Найти Q(t).

Qs' = -10 + 3(P-t). Равновесие: a-2P = -10+3P-3t → P = (a+10+3t)/5. Q = a - 2(a+10+3t)/5 = (3a-20-6t)/5. Q убывает линейно по t.

---

Частые ошибки

---

Чек-лист

• [ ] Решаю системы 2×2 подстановкой и сложением
• [ ] Умею решать системы с параметром
• [ ] Проверяю ответ подстановкой обратно
• [ ] Могу решить систему взаимосвязанных рынков